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          網絡多體約束,何不用超網絡?
          2020-06-30  【 】【打印】【關閉

            網絡是復雜系統中近鄰關系的一種直觀表示,它由節點和邊組成,節點代表系統的組成單元,每條邊連接兩個節點,意味著某種近鄰關系。雖說網絡上的邊只連接兩個節點,但網絡組合優化問題所包含的約束卻常常是多體約束。最小支配集合問題就是這樣一個問題。

            最小支配集合是由網絡中一部分節點構成的,它具有這樣的性質:第一,這個集合必須是最小的;第二、如果某個節點不在該集合里面,那它至少有一個鄰居在里面。換句話說,通過先訪問最小支配集合,最多只需再跳一步就可訪問到網絡中任何一個節點。最小支配集合對于解決資源優化配置、網絡搜索等問題很是重要。

            每個節點帶來一個多體約束:或者它自己,或者它的某個鄰居,必須屬于最小支配集合。如果某節點沒有鄰居,那它必須屬于最小支配集合。如果某節點 i 只有一個鄰居 j 而該鄰居自己還有其它鄰居,那么將 j 放進最小支配集合更為經濟,因為這樣的話,j 的所有鄰居(包括 i)都不必屬于最小支配集合了。

            理論物理研究所研究員周海軍的研究團隊對最小支配集合問題進行過深入研究 [1]。他們注意到上述化簡方法對于實際網絡系統效果有限,簡化之后網絡仍然包含很多節點和邊,不能得到精確的全局最優解。最近,周海軍研究員參與的葡萄牙、美國、中國合作研究對于超網絡的一般覆蓋問題進行了理論探索 [2]。該論文發現如果將最小支配集合問題表述為超網絡的覆蓋問題,即將每個節點 i 的約束用一條超邊來表示,該超邊連接節點 i 和它的所有鄰居,然后在超網絡上優化問題進行化簡,常常能導致問題被簡化更多,有時甚至直接達到全局最優解。

            

            圖一:GLR (普通網絡化簡方法 [1]);Hypergraph (超網絡化簡方法 [2]);Core (化簡后網絡的大小);橫軸是不同的實際測試網絡    

            這一工作表明用超網絡表示來處理普通網絡多體約束問題,將連接兩個節點的邊推廣為連接多個節點的超邊,有可能帶來算法上的較大改進。更多理論細節,參見文獻 [2]。 

            [1]  J.-H. Zhao, Y. Habibulla, H.-J. Zhou, Statistical mechanics of the minimum dominating set problem, Journal of Statistical Physics 159, 1154 (2015).

            [2]  B. C. Coutinho, A.-K. Wu, H.-J. Zhou, Y.-Y. Liu, Covering problems and core percolations on hypergraphs, Physical Review Letters 124, 248301 (2020). 

            

            

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